Deleuze y las matemáticas: lo singular y lo ordinario como nociones físico-psicológicas. (Parte I)

«Nadie entre aquí que no sepa geometría». Así rezaba –como sabemos- el lema de la Academia platónica en la Grecia clásica. Y Deleuze, como Platón o Pitágoras y como tantos otros filósofos importantes antes que él, consideraba a las matemáticas de una importancia fundamental para el desarrollo de la filosofía. El número de estudios sobre el pensamiento de Deleuze y su relación con las matemáticas se multiplica con los años, siendo el libro de Simon Duffy, Deleuze and the History of Mathematics¸ y el de Gonzalo Santaya, El cálculo trascendental. Deleuze y el cálculo diferencial, dos de los estudios más completos y sin duda recomendables para la correcta intelección del asunto. En términos generales podemos afirmar con Simon Duffy que la labor de Deleuze en torno a las matemáticas consistió en extraer problemas de la historia de las matemáticas para reubicarlos de manera que pudiera reconfigurar con ellos problemas filosóficos particulares de la historia de la filosofía. Como dice Duffy, “La reubicación de problemáticas matemáticas como modelo para problemáticas filosóficas es una de las estrategias que Deleuze emplea en su compromiso con y la reconfiguración de la historia de la filosofía”.[1] Ahora bien, la presencia de las matemáticas en la obra de Deleuze es enorme y compleja: lo mismo se adentra en los linajes menores del cálculo diferencial e infinitesimal, que en las multiplicidades de Riemann; explora tanto la matemática de Albert Lautman o la teoría de conjuntos, como la teoría de las catástrofes, o los fractales. Tratar aquí, por ende, de tan vasto asunto sería prácticamente imposible. Me ceñiré, pues, en lo que sigue, a desarrollar un solo concepto que para Deleuze era de una importancia extrema: el concepto de punto singular o singularidad. Este concepto aparece constantemente el en corpus deleuziano. Tiene un papel destacado en obras como Lógica del sentido y Diferencia y repetición, pero sobre todo en la obra que Deleuze, con su muy particular costumbre de sodomizar a sus autores predilectos, dedica a Leibniz. En efecto, es en El pliegue. Leibniz y el Barroco, donde Deleuze desarrolla con mayor amplitud el concepto de singularidad que toma en préstamo del creador de la monadología. Nos basaremos, pues, para lo que sigue, en esta importante monografía de Deleuze, pero también en los seminarios que el filósofo francés dedicó a Leibniz en los años ochenta y que se publicaron bajo el título Exasperación de la filosofía, cursos que sin duda fueron esenciales para la preparación de la obra y contribuyen a aclarar las dificultades de la misma, a diluir su indudable densidad.

Deleuze nos habla en un curso de 1987 de la «extrema importancia de la noción de singularidad», una noción de origen matemático que aparece con los inicios de la teoría de las funciones, pero que con Leibniz emigra y deviene un concepto filosófico-matemático e, incluso, un concepto psicológico-matemático.[2] Para Deleuze Leibniz es, pues, el primero en introducir en filosofía la teoría de las singularidades. No es que el concepto de «singular» no haya existido previamente en filosofía. De hecho, el concepto existe desde siempre en el vocabulario de la lógica clásica. «Singular» se dice siempre en relación y en oposición a «universal». Pero esto –dice Deleuze- no agota necesariamente una noción, pues un concepto es siempre polívoco y es aquí donde la matemática hace su contribución. Deleuze decía a sus alumnos que sólo podían aprehender el concepto de singularidad a través de un mínimo de dispositivos matemáticos.[3] Y es que los matemáticos no oponen lo singular al universal sino a lo regular. “Singular en matemática se distingue o se opone a regular. Lo singular es lo que sale de la regla”. Es así como Leibniz utiliza el concepto de singularidad: en el sentido de remarcable o notable por oposición a ordinario o regular. En matemáticas, lo singular se dice a propósito de ciertos puntos tomados de una curva, o, de manera más general, de cualquier figura. Sea por ejemplo una figura muy simple, un cuadrado equilátero con vértices en los puntos A, B, C y D. ¿Cuáles son los puntos singulares del cuadrado? Bueno, pues precisamente los cuatro vértices, puntos que marcan que una línea ya terminó y que otra, de diferente orientación, comienza.[4] Los puntos regulares u ordinarios, por el contrario, son todos aquellos en los que la singularidad se prolonga hasta converger con otra singularidad, esto es, los puntos que construyen los cuatro lados del cuadrado. Lo mismo pasa en una curva, por ejemplo, en una parábola: el punto de inflexión en cuya vecindad la curva comienza a cambiar de dirección es la singularidad de la curva, mientras que los puntos ordinarios son todos aquellos que dibujan la curva hasta la vecindad de la singularidad. Así, cada singularidad se da tras una serie de puntos ordinarios. De esta manera la figura, que es determinada, es una combinación de singular y ordinario, o, en otras palabras, la determinación, toda determinación, es una combinación de singular y ordinario. En palabras de Deleuze, “[u]na singularidad es el punto de partida de una serie que se prolonga sobre todos los puntos ordinarios del sistema, hasta la proximidad de otra singularidad; esta genera otra serie que unas veces converge, otras veces diverge de la primera”.[5] Por supuesto el concepto de singularidad en matemáticas viene de la teoría de funciones con la que trabaja el cálculo diferencial, disciplina que para Deleuze tiene una importancia capital en la medida en que es “una especie de unión de las matemáticas y de lo existente, es la simbólica de lo existente”, y en ese sentido es “un medio de exploración fundamental […] de la realidad de la existencia”.[6] La singularidad, en efecto, surge de una relación diferencial del tipo dx/dy, siendo éste, para nuestro filósofo, el símbolo de la diferencia en sí misma. Como Deleuze explica en Diferencia y repetición, dx es completamente indeterminado en relación con x, y dy es completamente indeterminado con relación a y. Pero son perfectamente determinables en uno en relación al otro.[7] Ahora bien, ¿qué es lo que determinan cuando entran en esa relación recíproca? Determinan una singularidad, un punto singular, precisamente, pero también pueden determinar sus prolongaciones en puntos ordinarios. En suma, la diferencia en sí cuyo símbolo es dx/dy distribuye lo notable y lo ordinario, lo singular y lo regular, prolongando los puntos regulares hasta la vecindad de otra singularidad.[8] En una curva hipérbole, por ejemplo, el punto singular es el punto en el cual la relación diferencial dx/dy cambia de signo. La singularidad introduce, pues, una discontinuidad.[9] Este es el primer sentido de singularidad: es un punto crítico, un punto de inflexión. Un punto en torno al cual la curva modifica su comportamiento o presenta un comportamiento extraño.[10]

 

La importancia de todo esto es no sólo que toda multiplicidad (es decir, todas las cosas) están compuestas por puntos singulares y puntos ordinarios, sino que el punto de inflexión o singularidad tiene también una relación directa con el concepto de acontecimiento. Al igual que la singularidad, el acontecimiento es el punto donde algo pasa, donde algo cambia. Como dice David Lapoujade, alumno y comentador de Deleuze, “[p]or el acontecimiento, todo recomienza, pero de otro modo; somos redistribuidos, regenerados en ocasiones hasta lo irreconocible. Todo se repite, pero distribuido de otro modo, repartido de otro modo, nuestras potencias continuamente removidas, retomadas, según nuevas dimensiones”.[11] En un sentido físico, son puntos críticos donde algo le sucede a la materia, tanto en sus cualidades como en su estructura. Al respecto dice Deleuze en Diferencia y repetición: “Hay puntos críticos del acontecimiento, como hay puntos críticos de temperatura, puntos de fusión, de congelación, de ebullición, de condensación, de coagulación, de cristalización”.[12] Podemos subir la temperatura del agua hasta los 99°C sin que, cualitativamente, nada pase. Es en el punto crítico de los 100° donde “algo pasa”, algo cambia, no sólo cuantitativa sino cualitativamente. Puede uno caminar a diferentes velocidades sin que ello deje de ser un mero “caminar”. Pero pasado cierto punto crítico nuestro cuerpo debe empezar a “correr”, es decir, opera cierto cambio estructural anatómico que nos permite seguir aumentando la velocidad. Es por ello que ya desde Lógica del sentido Deleuze identificaba al acontecimiento con los verbos en infinitivo: «crecer», «disminuir», «enrojecer», «verdear», «cortar», «ser cortado», etc.[13] Acontecimientos incorporales que representan puntos críticos, puntos de inflexión o singularidades en donde lo que antes era regular experimenta una modificación en su comportamiento. Citando al propio Deleuze: “Una lógica de los acontecimientos, una matemática de los acontecimientos, es una teoría de las singularidades”.[14]

 

Gilles Deleuze

Ahora bien, como decíamos líneas arriba, el concepto de singularidad también puede ser un concepto psicológico-matemático pues, para Deleuze, esta es precisamente la manera como nuestra vida y nuestra psique está compuesta. ¿En qué punto mi tristeza se convierte en llanto? ¿Cuál es el punto de inflexión en el que mi rabia se transforma en violencia? Son puntos singulares de nuestra propia multiplicidad psíquica, puntos que están rodeados por una nube de puntos ordinarios. En una tienda dejo caer al suelo, con torpeza, el dinero que el empleado me da de cambio. Éste, sorpresivamente, estalla en ira y murmura sobre mí palabras incomprensibles. Apenado y confundido, camino a la salida cuando otro empleado se me acerca y me confiesa: “No te preocupes, así es él siempre y con todos”. No se trataba, pues, de una singularidad, sino de su más ordinaria cotidianidad.[15] [Continúa aquí…]

[1] Simon Duffy, Deleuze and the History of Mathematics, pág. 2.

[2] Gilles Deleuze, La exasperación de la filosofía, pág. 75 y 199.

[3] Ibid., pág. 95.

[4] Ibid., pág. 77.

[5] Gilles Deleuze, Diferencia y repetición, pág. 411.

[6] Gilles Deleuze, La exasperación de la filosofía, pág. 65.

[7] Gilles Deleuze, Diferencia y repetición, pág. 263.

[8] Ibid., pág. 268.

[9] Gilles Deleuze, La exasperación de la filosofía, págs. 80 y 81.

[10] Cf. Gonzalo Santaya, El cálculo transcendental. Deleuze y el cálculo diferencial, pág. 97.

[11] David Lapoujade, Deleuze: los movimientos aberrantes, pág. 70.

[12] Gilles Deleuze, Diferencia y repetición, pág. 287. Con relación a la mención del punto de cristalización,   Duffy, en su nota 29, afirma lo siguiente: “Gilbert Simondon (b. 1924–1989) is another important figure for Deleuze whose use of the concept of metastable systems to describe the preliminary condition of individuation is also informed by these and subsequent developments in mathematics related to the modeling of complex systems. Simondon 1964.”

[13] Gilles Deleuze, Lógica del sentido, pág. 32.

[14] Gilles Deleuze, La exasperación de la filosofía, pág. 205.

[15] El ejemplo lo tomo, modificado, de Daniel W. Smith, “The Theory of Immanent Ideas”, en Deleuze and Philosophy, pág. 51.

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